9h20--10h20 Sylvie Méléard

TBA

10h50--11h10 Paul Thévenin

Géométrie d'une factorisation minimale aléatoire d'un grand cycle.

Une factorisation minimale du n-cycle est une factorisation de la permutation (1...n) en un produit de n-1 transpositions. On peut représenter géométriquement une telle factorisation en codant une transposition par une corde du disque unité et en traçant ces cordes une à une dans l'ordre où elles arrivent.
On s'intéresse au processus aléatoire obtenu en codant ainsi une factorisation minimale uniforme du n-cycle. On étudiera la convergence de ce processus quand n grandit, ainsi que ses liens avec un processus de fragmentation de l'arbre brownien.

11h10--11h30 Michel Pain

Modèle de Derrida-Retaux : du discret au continu

Le modèle de Derrida-Retaux est un modèle simple de renormalisation sur un arbre introduit en physique statistique et qui ouvre de nombreuses questions. Certaines ont été résolues récemment mais beaucoup d’autres restent ouvertes. Dans le but d’y répondre, avec Yueyun Hu et Bastien Mallein, nous avons introduit une version continue du modèle qui possède une famille de solutions exactement soluble. Nous verrons les résultats que l’on peut obtenir sur cette version du modèle, en se concentrant sur le comportement à la criticalité.

11h30--11h50 Fabio Coppini

A Law of Large Numbers for Weakly Interacting Particles on Random Graphs

This mini talk presents a very first glance at weakly interacting particle systems defined on (random) graphs, together with some results. The accent is posed on the relationship between initial conditions, graphs structure and long time behavior. For example, it can be shown that whenever initial conditions are IID random variables, the finite time behavior of the empirical measure is described by a McKean-Vlasov PDE, under the "weakest" hypothesis on the graph sequence. I will try to show that, under a few points of view, this setting is unsatisfactory and present a result, for a particular class of graphs, under weaker assumptions on the initial datum.

11h50--12h10 Xavier Erny

Limite de systèmes de processus de Hawkes en interaction dans un régime diffusif. Application aux neurosciences

Nous considérons un système de N neurones en interaction. Le comportement de chaque neurone est caractérisé par le taux auquel il envoie des décharges électriques (spikes), ce taux dépend du potentiel de membrane du neurone à l'instant t. A chaque spike d'un neurone, les autres neurones reçoivent une quantité aléatoire supplémentaire, appelée "poids synaptique", qui est alors rajoutée à leur potentiel de membrane. De plus, entre deux spikes successifs le potentiel de membrane de chaque neurone subit une perte continue avec vitesse exponentielle. Le processus décrivant les instants de spikes du système peut être modélisé par un système de processus de Hawkes en interaction, dont l'intensité, représentant l'évolution des potentiels de membranes, satisfait une EDS dirigée par un système de mesures aléatoires de Poisson. Dans un régime d'interactions du type champs moyen avec une renormalisation diffusive nous montrons que le processus d'intensité converge (en loi) vers une diffusion limite (quand le nombre de neurones N tend vers l'infini) du type CIR qui décrit le comportement typique d'un seul neurone au sein d'une population limite infinie. Nous en déduisons la convergence du système de processus de Hawkes (dans l'espace de Skorokhod). Pour démontrer cette convergence nous utilisons des techniques analytiques basées sur la convergence des semi-groupes associés à des processus de Markov.

14h20--14h40 Guillaume Conchon-Kerjan

Cutoff pour la marche aléatoire sur des relèvements de graphes

Soit G un graphe fini, un n-relèvement G_n de G consiste à prendre n copies de chaque sommet de G, et pour chaque arête entre des sommets u et v de G, tracer n arêtes reliant les n copies de u aux n copies de v, de façon bijective. Si ces bijections sont choisies indépendamment et uniformément au hasard, nous prouvons qu'avec grande probabilité, G_n est tel que la distribution d'une marche aléatoire sur ses sommets converge vers la mesure invariante en log(n)/h pas, où h est une constante dépendant de G. Cette convergence est brusque (phénomène de 'cutoff') : après (1-ε)log(n)/h pas, la marche n'a encore exploré qu'une petite partie du graphe, et est donc très mal mélangée.

14h40--15h00 Florian Bechtold

Les EDPS semi-linéaires à diffusion non-bornée

On considère le problème du= Δ u dt+divF(u_t)dt+(- Δ)^δ/2 Σ_k=1^dB_k(u_t)dW_t^k avec condition initiale u(0)=u₀ ∈ L^p(T^N) pour δ ∈ [0,1). On démontre une généralisation de l'inégalité maximale pour des convolutions stochastique grâce à laquelle on peut établir l'existence et l'unicité des solutions mild, continues en temps et lisses en espace. Ensuite, en utilisant la formule d'Itô, on établit une borne uniforme sur la suite des solutions correspondantes (u^δ)_δ<=1, ce qui permet, grâce au théorème de Banach-Alaoglu, d'extraire une sous-suite faiblement convergente. On démontre que sa limite est solution de l'équation énoncé pour δ=1 dans un sense faible-mild proposé pendant l'exposé.

15h00--15h20 Hélène Halconruy

Calcul de Malliavin pour des variables aléatoires indépendantes et méthode de Stein

Le calcul de Malliavin, initialement élaboré pour fournir un calcul différentiel infini-dimensionnel sur l’espace de Wiener, a depuis des années été développé pour d’autres processus Gaussiens et étendu aux processus de Poisson, qui constituent les deux familles de processus pour lesquels les théories afférentes sont les plus abouties.
Dans le cadre d’un travail mené avec L. Decreusefond, nous en proposons une version discrète, pour toute famille de variables aléatoires, sur laquelle une simple hypothèse d’indépendance est émise. En appliquant alors la méthode de Stein dans ce contexte, et en en adoptant l’une des approches qui exploite l’intégration par parties au sens de Malliavin, il est possible d’établir des résultats de convergence pour des suites de variables aléatoires indépendantes.
C’est par l’un d’entre eux que nous avons choisi de motiver cet exposé : un critère de Stein-Malliavin d’approximation de la loi normale par des fonctionnelles de variables aléatoires indépendantes.

15h20--15h40 Baptiste Louf

Limites locales de triangulations de grand genre

En 2002, Angel et Schramm ont démontré que la limite locale des triangulations planaires aléatoires est l'UIPT, une triangulation infinie du plan. En 2012, Curien a introduit les PSHIT, une famille de triangulations infinies du plan de « nature hyperbolique » qui sont une généralisation naturelle de l'UIPT. Benjamini et Curien ont conjecturé que ces objets étaient la limite locale des triangulations de grand genre (i.e. le genre est linéaire en le nombre de faces). Nous démontrons cette conjecture pour les triangulations de type I (travail en commun avec Thomas Budzinski).

15h40--16h00 Ivailo Hartarsky

Le second terme de la percolation bootstrap à deux voisins en deux dimensions

En percolation bootstrap à deux voisins sur [n]² les sommets avec au moins deux voisins infectés sont itérativement infectés. Les infections initiales sont indépendantes de loi de Bernoulli de paramètre p. La motivation vient en outre de connections avec des systèmes de particules en interaction tels que le modèle Ising et les modèles cinétiquement contraints de la transition vitreuse. La quantité d'intérêt est la probabilité ciritique p_c(n) de la transition de l'infection complète. Nous déterminons le second terme de celle-ci, ce qui nécessite une compréhension fine du comportement du modèle. L'exposé est basé sur un travail en commun avec Robert Morris.

16h00--16h20 Wei Zhou

Les interfaces en dimension d⩾3, de la percolation au modèle d'Ising

Les interfaces dans les modèles de percolation et d'Ising jouent un rôle crucial dans la compréhension de ces modèles et sont au cœur de plusieurs problématiques. Dans cet exposé, nous présentons des résultats classiques sur la structure géométrique des interfaces et une nouvelle approche qui permet d'obtenir des résultats de localisation à l'aide un couplage entre deux dynamiques. Nous présentons aussi des perspectives de cette approche.

16h50--17h50 Stéphane Seuret

TBA